MDP 是马尔可夫决策过程（Markov Decision Process）的缩写。它是强化学习中用于建模决策问题的一个核心概念。MDP 提供了一个数学框架，用于描述一个代理（Agent）在随机环境中进行决策以最大化累积奖励。一个 MDP 通常由以下五个元素组成：
- 状态集合 ( S )：表示环境可能处于的所有状态的集合。
- 动作集合 ( A )：表示代理可以执行的所有动作的集合。
- 状态转移函数 ( P(s’|s, a) )：表示在状态 ( s ) 下执行动作 ( a ) 后转移到状态 ( s’ ) 的概率。
- 奖励函数 ( R(s, a) )：表示在状态 ( s ) 下执行动作 ( a ) 所获得的即时奖励。
- 折扣因子 ( \gamma )：一个介于 0 和 1 之间的值，用于权衡未来奖励与当前奖励的重要性。通常用于无限时域问题以确保累积奖励的有限性。
MDP 的正式定义
一个 MDP 可以形式化地表示为一个四元组 ( (S, A, P, R) ) 或五元组 ( (S, A, P, R, \gamma) )，其中：
- ( S ) 是状态空间。
- ( A ) 是动作空间。
- ( P(s’|s, a) ) 是状态转移概率函数，表示在状态 ( s ) 下执行动作 ( a ) 后转移到状态 ( s’ ) 的概率。
- ( R(s, a) ) 是奖励函数，表示在状态 ( s ) 下执行动作 ( a ) 所获得的期望奖励。
- ( \gamma ) 是折扣因子（如果有）。
MDP 的工作原理
在 MDP 中，代理通过在每个时间步 ( t ) 观察当前状态 ( s_t )，选择一个动作 ( a_t )，然后根据状态转移函数 ( P ) 转移到下一个状态 ( s_{t+1} )，同时根据奖励函数 ( R ) 获得一个奖励 ( r_t )。目标是找到一个策略 ( \pi(a|s) )，即在每个状态 ( s ) 下选择动作的概率分布，从而最大化累积奖励的期望值：
[ G_t = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k r_{t+k} ]
其中，( G_t ) 是从时间步 ( t ) 开始的累积折扣奖励。
MDP 在强化学习中的应用
在强化学习中，MDP 提供了一个标准化的框架来描述学习任务。大多数强化学习算法，如 Q-learning、策略梯度方法、深度 Q 网络（DQN）、近端策略优化（PPO）等，都是在 MDP 框架下开发和应用的。这些算法的目标是通过与环境的交互，学习一个最优策略 ( \pi^* )，使得累积奖励最大化。
示例
假设一个简单的迷宫问题，代理需要从起点走到终点。这个迷宫可以用一个 MDP 来建模：
- 状态集合 ( S )：迷宫中所有可能的位置。
- 动作集合 ( A )：上、下、左、右四个方向。
- 状态转移函数 ( P(s’|s, a) )：根据当前状态 ( s ) 和动作 ( a ) 定义转移到下一个状态 ( s’ ) 的概率。例如，如果迷宫没有障碍物，代理按动作 ( a ) 的方向移动；如果有障碍物，代理保持在原地。
- 奖励函数 ( R(s, a) )：到达终点时获得正奖励，其他情况下可能获得零奖励或负奖励（如碰到墙壁）。
- 折扣因子 ( \gamma )：用来权衡未来奖励的重要性。
通过强化学习算法，代理可以学习到一条从起点到终点的最优路径。
总结
MDP 是强化学习中用于建模和解决决策问题的基本工具。它提供了一个统一的框架来描述环境、代理的行为、奖励结构和目标，通过这个框架，我们可以开发和应用各种强化学习算法来解决实际问题。